Геометричний та фізичний зміст похідної

Геометричний зміст похідної

Значення похідної в точці x0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x0 ( і дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної) f'(x0)=tgα=k
Рівняння дотичної до графіка функції y=f(x) в точці з абсцисою x0 y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)

Приклад. Скласти рівняння дотичної до графіка функції  у точці з абсцисою x0=2
Обчислюємо значення функції в точці  
Знаходимо похідну f'(x)=3x2-x .
Знаходимо похідну в точці f'(2)=3*22-2=12-2=10.

Рівняння дотичної y=2+10(x-2)=10x-18.

 Механічний зміст похідної

Похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргументу. Похідна від функції, що виражає залежність пройденого шляху S від часу t є миттєвою швидкістю v.
v=S'(t) - швидкість прямолінійного руху.
a=v'(t) - прискорення прямолінійного руху.

Приклад. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом S=10t-t2. ( час t вимірюється в секундах, переміщення s- у метрах). В який момент часу точка зупиниться?
Точка зупиниться, коли її швидкість буде дорівнювати нулю.
x=S'(t), тому знайдемо похідну. S'(t)=10-2t, 10-2t=0, t=5.
Відповідь. 5с.